Limit kardinál - Limit cardinal

v matematika, omezit kardinály jsou si jistí základní čísla. Kardinální číslo λ je slabý limit kardinál -li λ není ani nástupce kardinál ani nula. To znamená, že člověk nemůže „dosáhnout“ λ od jiného kardinála opakovanými následnými operacemi. Tito kardinálové se někdy nazývají jednoduše „omezit kardinály“, když je jasný kontext.

Kardinál λ je silný limit kardinál -li λ nelze dosáhnout opakováním výkonová sada operace. Tohle znamená tamto λ je nenulová a pro všechny κ < λ, 2^κ < λ. Každý silný limit kardinál je také slabý limit kardinál, protože κ⁺ ≤ 2^κ pro každého kardinála κ, kde κ⁺ označuje nástupce kardinála κ.

První nekonečný kardinál, ${ displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-nic ), je silným limitním kardinálem, a tedy také slabým limitním kardinálem.

Stavby

Jedním ze způsobů, jak vytvořit limit kardinály, je operace unie: ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ je slabý limit kardinál, definovaný jako spojení všech alefů před ním; a obecně ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ pro všechny mezní pořadové číslo λ je slabý limit kardinál.

The ב provoz lze použít k získání silného limitu kardinálů. Tato operace je mapou od ordinálů po kardinály definované jako

${ displaystyle beth _ {0} = aleph _ {0},}$

${ displaystyle beth _ { alpha +1} = 2 ^ { beth _ { alpha}},}$ (nejmenší pořadové číslo stejný počet s pohonnou jednotkou)

Li λ je limitní pořadové číslo, ${ displaystyle beth _ { lambda} = bigcup { beth _ { alpha}: alpha < lambda }.}$

Kardinál

${ displaystyle beth _ { omega} = bigcup { beth _ {0}, beth _ {1}, beth _ {2}, ldots } = bigcup _ {n < omega} beth _ {n}}$

je silný limit kardinál spolufinancování ω. Obecněji řečeno, vzhledem k jakémukoli pořadovému číslu α, kardinál

${ displaystyle beth _ { alpha + omega} = bigcup _ {n < omega} beth _ { alpha + n}}$

je silný limit kardinál. K dispozici jsou tedy libovolně velké silné limity kardinálů.

Vztah s řadovými indexy

Pokud axiom volby drží, každé hlavní číslo má počáteční pořadové číslo. Pokud je to počáteční pořadové číslo ${ displaystyle omega _ { lambda} ,,}$ pak je hlavní číslo v podobě ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ pro stejný pořadový dolní index λ. Řadový λ určuje, zda ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ je slabý limit kardinál. Protože ${ displaystyle aleph _ { alpha ^ {+}} = ( aleph _ { alpha}) ^ {+} ,,}$ -li λ je potom pořadovým nástupcem ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ není slabá hranice. Naopak, pokud kardinál κ je nástupnický kardinál, řekněme ${ displaystyle kappa = ( aleph _ { alpha}) ^ {+} ,,}$ pak ${ displaystyle kappa = aleph _ { alpha ^ {+}} ,.}$ Obecně tedy ${ displaystyle aleph _ { lambda}}$ je slabý limit kardinál právě tehdy λ je nula nebo limitní pořadové číslo.

Ačkoliv nám řadový dolní index říká, zda je kardinál slabý limit, neříká nám, zda je kardinál silný limit. Například, ZFC to dokazuje ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ je slabý limit kardinál, ale ani to nedokazuje, ani nevyvrací ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ je silným limitním kardinálem (Hrbacek a Jech 1999: 168). The zobecněná hypotéza kontinua tvrdí, že ${ displaystyle kappa ^ {+} = 2 ^ { kappa} ,}$ pro každého nekonečného kardinála κ. Podle této hypotézy se pojmy slabých a silných limitních kardinálů shodují.

Pojem nepřístupnosti a velkých kardinálů

Předcházející definuje pojem „nepřístupnosti“: jedná se o případy, kdy již nestačí provádět konečně mnoho iterací operací nástupce a Powersetu; proto výraz „nelze dosáhnout“ v obou výše uvedených intuitivních definicích. „Operace odboru“ však vždy poskytuje jiný způsob „přístupu“ k těmto kardinálům (a skutečně je tomu tak i v případě limitních ordinálů). Silnější pojmy nepřístupnosti lze definovat pomocí spolufinancování. Pro slabý (respektive silný) limit kardinál κ požadavek je, že srov (κ) = κ (tj. κ být pravidelný ) aby κ nelze vyjádřit jako součet (unie) menší než κ menší kardinálové. Takový kardinál se nazývá a slabě (respektive silně) nepřístupný kardinál. V předchozích příkladech jsou oba singulární kardinálové cofinality ω, a proto nejsou nepřístupní.

${ displaystyle aleph _ {0}}$ by byl nepřístupným kardinálem obou „silných stránek“, kromě toho, že definice nepřístupného vyžaduje, aby byly nepočítatelné. Standardní teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiomem volby (ZFC) nemůže ani prokázat konzistenci existence nepřístupného kardinála jakéhokoli druhu výše ${ displaystyle aleph _ {0}}$, kvůli Gödelova věta o neúplnosti. Přesněji řečeno, pokud ${ displaystyle kappa}$ je slabě nepřístupný ${ displaystyle L _ { kappa} modely ZFC}$. Ty tvoří první v hierarchii velcí kardinálové.

Viz také

• Základní číslovka

Reference

• Hrbáček, Karel; Jech, Thomas (1999), Úvod do teorie množin (3. vyd.), ISBN  0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Teorie množin, Springer Monografie z matematiky (ed. Třetího tisíciletí), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 3-540-44761-X, ISBN  978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti, Elsevier, ISBN  978-0-444-86839-8

externí odkazy

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Nekonečný inkoust na kardinálech